Edu Solid Geometry

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
bodies.py — 几何体"拓扑"库（哪些顶点、哪些棱）。

与 geometry_kernel.py 配合：kernel 负责精确坐标，bodies 负责标准棱连接，
两者合成 3D 渲染所需的 model（spheres + edges）。常见几何体在此内置；
罕见几何体可在具体题目里手写 edges。
"""


def _edge(a, b, **kw):
    e = {"a": a, "b": b}
    e.update(kw)
    return e


def quad_pyramid(apex="P", base=("A", "B", "C", "D")):
    """四棱锥：底面四边形 + 顶点到各底点。返回 spheres 与 edges。"""
    a, b, c, d = base
    edges = [
        _edge(a, b), _edge(b, c), _edge(c, d), _edge(d, a),
        _edge(apex, a), _edge(apex, b), _edge(apex, c), _edge(apex, d),
    ]
    return {"spheres": [apex, a, b, c, d], "edges": edges}


def tri_pyramid(apex="P", base=("A", "B", "C")):
    """三棱锥（四面体）。"""
    a, b, c = base
    edges = [
        _edge(a, b), _edge(b, c), _edge(c, a),
        _edge(apex, a), _edge(apex, b), _edge(apex, c),
    ]
    return {"spheres": [apex, a, b, c], "edges": edges}


def cuboid(bottom=("A", "B", "C", "D"), top=("A1", "B1", "C1", "D1")):
    """长方体 / 正方体：底面四边形、顶面四边形、四条竖棱。"""
    a, b, c, d = bottom
    a1, b1, c1, d1 = top
    edges = [
        _edge(a, b), _edge(b, c), _edge(c, d), _edge(d, a),       # 底面
        _edge(a1, b1), _edge(b1, c1), _edge(c1, d1), _edge(d1, a1),  # 顶面
        _edge(a, a1), _edge(b, b1), _edge(c, c1), _edge(d, d1),   # 竖棱
    ]
    return {"spheres": [a, b, c, d, a1, b1, c1, d1], "edges": edges}


def prism(bottom=("A", "B", "C"), top=("A1", "B1", "C1")):
    """棱柱：上下同形多边形 + 竖棱（顶点数任意，按顺序一一对应）。"""
    n = len(bottom)
    edges = []
    for i in range(n):
        edges.append(_edge(bottom[i], bottom[(i + 1) % n]))
        edges.append(_edge(top[i], top[(i + 1) % n]))
        edges.append(_edge(bottom[i], top[i]))
    return {"spheres": list(bottom) + list(top), "edges": edges}


#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
geometry_kernel.py — 立体几何确定性计算核心（基于 sympy 精确符号运算）。

设计目标（对应方案 A）：坐标、向量、最终答案全部由本模块精确算出，
根式自动化简，杜绝心算误差。同一套坐标既喂给解题文案，也喂给 3D 渲染，
保证"图、解、答"严格一致。

依赖: sympy（pip install sympy）。

坐标约定（数学坐标，z 轴向上）：
  - 题面/公式里展示的就是这套数学坐标。
  - 3D 渲染坐标采用 three.js 约定（y 轴向上）：three = (x, z, y) * scale。
"""

import sympy as sp

sqrt = sp.sqrt


# ===================== 基础工具 =====================

def V(*comps):
    """构造列向量（sympy.Matrix）。"""
    if len(comps) == 1 and isinstance(comps[0], (list, tuple)):
        comps = comps[0]
    return sp.Matrix([sp.sympify(c) for c in comps])


def midpoint(a, b):
    return (a + b) / 2


def normal_from_points(p, q, r):
    """由平面上三点求法向量（叉积），返回未化简向量。"""
    return (q - p).cross(r - p)


def simplify_vec(v):
    """把向量按公因子约简到最简整系数方向（仅用于'简化取 n=...'的展示）。"""
    v = sp.Matrix([sp.simplify(c) for c in v])
    nonzero = [c for c in v if c != 0]
    if not nonzero:
        return v
    g = nonzero[0]
    for c in nonzero[1:]:
        g = sp.gcd(g, c)
    if g != 0:
        cand = sp.simplify(v / g)
        # 若约简后仍是整数向量则采用
        if all(c.is_rational for c in cand):
            return cand
    return v


def line_plane_angle_sin(line_dir, normal):
    """线面角正弦：sinθ = |v·n| / (|v||n|)，精确化简。"""
    v = line_dir
    n = normal
    s = sp.Abs(v.dot(n)) / (v.norm() * n.norm())
    return sp.simplify(s)


def line_line_angle_cos(d1, d2):
    """异面直线夹角余弦：cosθ = |d1·d2| / (|d1||d2|)。"""
    return sp.simplify(sp.Abs(d1.dot(d2)) / (d1.norm() * d2.norm()))


def point_plane_distance(point, plane_point, normal):
    """点到平面距离：|(P - P0)·n| / |n|。"""
    return sp.simplify(sp.Abs((point - plane_point).dot(normal)) / normal.norm())


def dihedral_cos(A, B, C, D):
    """二面角 C-AB-D 的余弦：在两个半平面内各取一条垂直于棱 AB 的向量再求夹角。

    AB 为棱，C 在一个面内，D 在另一个面内。返回带符号的精确余弦
    （正=锐二面角，负=钝二面角）。
    """
    u = B - A

    def perp(P):
        w = P - A
        return w - (w.dot(u) / u.dot(u)) * u

    v1, v2 = perp(C), perp(D)
    return sp.simplify(v1.dot(v2) / (v1.norm() * v2.norm()))


def dihedral_cos_from_normals(n1, n2):
    """由两半平面法向量求二面角余弦（符号依赖法向量取向，通常配合几何判断锐钝）。"""
    return sp.simplify(n1.dot(n2) / (n1.norm() * n2.norm()))


# ===================== 体积 =====================

def volume